Deuxième loi de Newton et théorème du centre d'inertie
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• reconnaître un référentiel galiléen ;
• énoncer et appliquer la deuxième loi de Newton et le théorème du centre d'inertie, et les distinguer ;
• reconnaître un solide isolé ou pseudo-isolé.
Un peu d'histoire
En 1687, Isaac Newton (1642-1727) publie les Principes mathématiques de la philosophie naturelle. À partir des lois du mouvement et de la gravitation, il fait de la mécanique un système mathématique cohérent : c'est l'un des plus grands ouvrages de l'histoire des sciences.
Situation
Dans un bus qui freine brusquement, les passagers sont projetés vers l'avant, sans que rien ne les pousse. Pourquoi ? Et quelle relation lie les forces au mouvement d'un corps ?
I. Les lois de la dynamique
1. Les référentiels galiléens
Un référentiel est galiléen si le principe d'inertie (première loi de Newton) y est vérifié : un corps qui ne subit aucune force, ou des forces qui se compensent, y est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.
Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen.
Les référentiels usuels
| Référentiel | Peut être considéré comme galiléen… |
|---|---|
| de Copernic, héliocentrique | avec une très bonne précision |
| géocentrique | pour des durées petites devant une année (satellites) |
| terrestre (laboratoire) | pour des durées petites devant un jour : c'est le cas des expériences au laboratoire |
Une voiture qui freine, accélère ou prend un virage ; un manège qui tourne. Un passager y est projeté vers l'avant ou vers l'extérieur sans qu'aucune force ne le pousse.
2. La deuxième loi de Newton
Reprenons la chute libre étudiée en cinématique : une bille de masse m tombe avec une accélération a = 9,8 m.s-2, verticale, vers le bas. Son poids P→ = m g→ est lui aussi vertical, vers le bas, et sa valeur m g est égale à m a. On a donc P→ = m a→.
Ce résultat se généralise à tout corps ponctuel soumis à plusieurs forces :
Deuxième loi de Newton (relation fondamentale de la dynamique) : dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur un corps ponctuel est égale, à chaque instant, au produit de sa masse par son vecteur accélération :
C'est une relation de cause à effet : c'est la somme des forces qui fait varier la vitesse. Si elle est nulle, l'accélération est nulle et l'on retrouve le principe d'inertie.
3. Le théorème du centre d'inertie
Un système (S) de masse m est formé de points Mi de masses mi. Son centre d'inertie G est le barycentre de ces points : m OG→ = Σ mi OM→i.
En appliquant la deuxième loi à chaque point et en additionnant, les forces intérieures s'annulent deux à deux (actions réciproques) ; il reste :
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