Le mouvement rectiligne sinusoïdal
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• reconnaître un mouvement rectiligne sinusoïdal et écrire son équation horaire ;
• le caractériser par son amplitude, sa période, sa pulsation et sa phase ;
• établir les expressions de la vitesse et de l'accélération, et la relation a = - ω2 x.
Situation
Un solide accroché à un ressort, la membrane d'un haut-parleur, le piston d'un moteur : tous ces objets font des allers-retours de part et d'autre d'une position d'équilibre. Comment décrire ce mouvement ?
I. Le mouvement rectiligne sinusoïdal
1. Un mouvement périodique
Un solide est accroché à un ressort vertical. À l'équilibre, son centre d'inertie G est en O. On l'écarte de Xm vers le bas et on le lâche : G oscille entre les abscisses - Xm et + Xm.
Un stylet fixé au solide trace ses positions sur une bande de papier qui défile à vitesse constante : on obtient une sinusoïde.
Le mouvement est périodique (il se répète identique à lui-même à intervalles de temps égaux) et rectiligne sinusoïdal.
2. L'équation horaire
Un point est en mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajectoire est un segment [AB] de milieu O et si son abscisse (son élongation) est une fonction sinusoïdale du temps :
Les grandeurs du mouvement
| Grandeur | Symbole | Unité | Signification |
|---|---|---|---|
| élongation | x(t) | m | abscisse à la date t, entre - Xm et + Xm |
| amplitude | Xm | m | élongation maximale |
| période | T | s | durée d'une oscillation complète |
| fréquence | N = 1/T | Hz | nombre d'oscillations par seconde |
| pulsation | ω = 2π/T | rad.s-1 | |
| phase | ωt + φx | rad | à la date t |
| phase initiale | φx | rad | fixée par les conditions initiales : x(0) = Xm sin φx |
En effet x(t + T) = Xm sin(ωt + 2π + φx) = x(t) : le mobile revient à la même position avec la même vitesse au bout d'une période.
II. Vitesse et accélération
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