Étude cinématique d'un solide en mouvement de translation
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• choisir un référentiel et repérer un mobile (coordonnées, vecteur position, abscisse curviligne) ;
• définir et représenter les vecteurs vitesse et accélération instantanées ;
• décomposer l'accélération en accélération tangentielle et normale (repère de Frenet).
• reconnaître un mouvement rectiligne uniforme et un mouvement rectiligne uniformément varié (accéléré ou retardé) ;
• écrire leurs équations horaires ;
• établir et utiliser la relation v22 - v12 = 2a(x2 - x1).
• reconnaître un mouvement rectiligne sinusoïdal et écrire son équation horaire ;
• le caractériser par son amplitude, sa période, sa pulsation et sa phase ;
• établir les expressions de la vitesse et de l'accélération, et la relation a = - ω2 x.
Introduction
La cinématique décrit les mouvements, sans chercher leurs causes ni tenir compte des masses. Pour un solide en translation (tous ses points ont le même mouvement, comme un TGV sur une voie droite ou une cabine de téléphérique), il suffit d'étudier le mouvement de son centre d'inertie G.
I. Repérage et grandeurs cinématiques
1. Repérer un mobile
1. Référentiel et repères
Un passager endormi dans un avion est au repos par rapport à l'avion, mais en mouvement par rapport à la Terre.
Un mouvement se décrit toujours par rapport à un corps de référence.
Un référentiel est formé d'un objet de référence, d'un repère d'espace (une origine O et trois axes, souvent orthonormés : R(O, i→, j→, k→)) et d'un repère de temps (une origine des dates t = 0 et une horloge ; unité : la seconde).
Les référentiels usuels
| Référentiel | Origine | Utilisé pour |
|---|---|---|
| de Copernic | centre d'inertie du système solaire | planètes, étoiles |
| héliocentrique | centre du Soleil, axes vers trois étoiles lointaines | mouvement des planètes |
| géocentrique | centre de la Terre, axes vers trois étoiles lointaines | Lune, satellites artificiels |
| terrestre (du laboratoire) | un point lié au sol | mouvements à la surface de la Terre |
Une date t repère un instant par rapport à l'origine des temps ; elle est négative pour un instant antérieur.
2. Repérer la position du mobile
- Dans le repère (O, i→, j→, k→), la position d'un point M à la date t est donnée par ses coordonnées x(t), y(t), z(t) : ce sont les équations horaires (ou paramétriques) du mouvement.
- Le vecteur position : OM→ = x i→ + y j→ + z k→
- En éliminant t entre les équations horaires, on obtient l'équation de la trajectoire.
- Si la trajectoire est connue et orientée, on peut repérer M par son abscisse curviligne s, mesure algébrique de l'arc AM à partir d'une origine A.
Pour un mouvement rectiligne, un seul axe (O, i→) suffit : OM→ = x i→.
2. Vitesse et accélération
1. Le vecteur vitesse
Entre les dates t et t + Δt, le mobile passe de M à M'. Le vecteur vitesse moyenne est v→m = MM'→Δt.
En faisant tendre Δt vers zéro, on obtient le vecteur vitesse instantanée :
Caractéristiques du vecteur vitesse
- Direction : la tangente à la trajectoire en M.
- Sens : celui du mouvement.
- Coordonnées : vx = dxdt, vy = dydt, vz = dzdt ; valeur : v = vx2 + vy2 + vz2 (en m.s-1).
Quelques vitesses
| Mobile | Vitesse (m.s-1) |
|---|---|
| piéton | 1,5 |
| coureur | 7 à 10 |
| TGV | environ 90 (320 km/h) |
| balle de fusil | 400 à 1 200 |
| satellite | quelques milliers |
2. Le vecteur accélération
Le vecteur accélération instantanée est la dérivée du vecteur vitesse :
L'accélération traduit toute variation du vecteur vitesse, pas seulement de sa valeur. Un mobile qui tourne à vitesse constante en valeur a une accélération, car la direction de sa vitesse change.
Dans le repère de Frenet (M, T→, N→), lié au mobile pour une trajectoire plane, T→ tangent à la trajectoire et N→ dirigé vers l'intérieur de la courbure :
- L'accélération tangentielle aT = dv/dt traduit la variation de la valeur de la vitesse.
- L'accélération normale aN = v2/r (r : rayon de courbure) traduit le changement de direction ; elle est toujours dirigée vers l'intérieur de la courbure.
Mouvement rectiligne : r infini, aN = 0.
Mouvement circulaire uniforme : aT = 0, a→ est centripète, de valeur v2/r.
Dans (O, i→, j→) : v→ = 5 i→ - (3t - 5) j→ (en m.s-1). À t = 1 s, le mobile est en M0(2 m ; 3 m).
• Accélération : ax = 0 ; ay = - 3 m.s-2.
• Équations horaires : x = 5t + C1, avec x(1) = 2, d'où x = 5t - 3 ; y = - 1,5t2 + 5t + C2, avec y(1) = 3, d'où y = - 1,5t2 + 5t - 0,5.
• Trajectoire : t = (x + 3)/5, d'où y = - 0,06x2 + 0,64x + 1,96 : un arc de parabole.
• À t = 1 s : vx = 5, vy = 2, v ≈ 5,39 m.s-1 ; tan α = 2/5, α ≈ 21,8° au-dessus de l'horizontale.
• a→ = - 3 j→ se décompose en aT = - 3 sin α ≈ - 1,11 m.s-2 (négative : la valeur de la vitesse diminue, le mobile monte encore) et aN = 3 cos α ≈ 2,79 m.s-2.
• Rayon de courbure : r = v2/aN = 29,0/2,79 ≈ 10,4 m.
II. Mouvements rectilignes uniforme et uniformément varié
1. Le mouvement rectiligne uniforme
1. Vitesse constante
Dans un repère (O, i→) porté par la trajectoire : OM→ = x i→, v→ = v i→ avec v = dx/dt, a→ = a i→ avec a = dv/dt.
Un mouvement est rectiligne uniforme si son vecteur vitesse est constant (direction, sens et valeur) : a→ = 0→.
Comme dx/dt = v0 est constante, x est une fonction affine du temps :
Sur une chronophotographie, les positions successives sont également espacées.
2. Le mouvement rectiligne uniformément varié
1. Accélération constante
Un mouvement rectiligne est uniformément varié si son vecteur accélération est constant (et non nul).
Équations horaires
- dv/dt = a constante, donc : v = a t + v0
- dx/dt = a t + v0, donc : x = 12 a t2 + v0 t + x0
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