Évolution temporelle de la radioactivité
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• expliquer le caractère aléatoire d'une désintégration et la régularité de la décroissance d'un grand nombre de noyaux ;
• établir et appliquer la loi de décroissance N = N0.e-λt ;
• définir la période (demi-vie) T et utiliser T = ln2/λ, notamment pour des durées multiples de T ;
• définir et calculer l'activité A = λ.N d'un échantillon ;
• exploiter une courbe de décroissance ; appliquer la loi à la datation et à la médecine.
Prérequis : désintégrations α, β, γ ; dérivée et fonction exponentielle ; logarithme népérien.
Situation de départ
En 1991, deux randonneurs découvrent dans un glacier des Alpes le corps d'un homme préhistorique, surnommé Ötzi. En mesurant la radioactivité du carbone 14 de ses tissus, les scientifiques ont établi qu'il était mort il y a environ 5 300 ans.
Comment la radioactivité peut-elle servir d'horloge, alors qu'on ne peut pas prévoir l'instant où un noyau va se désintégrer ?
I. Un phénomène aléatoire
On ne peut pas prévoir l'instant où un noyau radioactif donné va se désintégrer : il peut le faire dans la seconde qui suit ou dans mille ans. On sait seulement qu'il a une certaine probabilité de se désintégrer par unité de temps, la même pour tous les noyaux identiques, et qui ne dépend pas de leur « âge ».
Mais un échantillon contient un nombre énorme de noyaux (un microgramme en contient des milliards de milliards) : le nombre de désintégrations devient alors parfaitement prévisible, comme le nombre de « pile » obtenu en lançant un million de pièces.
II. La loi de décroissance radioactive
Soit N le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t. Pendant une durée très courte dt, le nombre de désintégrations est proportionnel à N et à dt ; N diminue de :
λ, positive, est la constante radioactive du noyau ; elle s'exprime en s-1. Le signe - traduit la diminution de N. On en déduit dN/N = -λ.dt, puis, en intégrant avec N = N0 à t = 0 :
Le nombre de noyaux radioactifs d'un échantillon décroît exponentiellement : N = N0.e-λt. La constante λ ne dépend que de la nature du noyau.
En prenant le logarithme : ln N = ln N0 - λ.t. La courbe ln N = f(t) est une droite de pente -λ : c'est une méthode commode pour vérifier la loi et mesurer λ.
III. La période radioactive
La période (ou demi-vie) T d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d'un échantillon s'est désintégrée.
À t = T, N = N0/2, donc e-λT = 1/2, soit λT = ln2 :
La période ne dépend pas du nombre initial de noyaux : au bout de T il reste N0/2 noyaux, au bout de 2T il en reste N0/4, au bout de 3T N0/8, et plus généralement :
Quelques périodes
| Radioactivité | Période T | |
|---|---|---|
| polonium 214 | α | 1,6.10-4 s |
| technétium 99m (médecine) | γ | 6,0 h |
| iode 131 (médecine) | β- | 8,0 jours |
| cobalt 60 (radiothérapie) | β- | 5,3 ans |
| césium 137 | β- | 30 ans |
| radium 226 | α | 1 600 ans |
| carbone 14 | β- | 5 730 ans |
| uranium 238 | α | 4,5.109 ans |
Une période n'est pas la « durée de vie » de l'échantillon : au bout de 2T, il ne reste pas zéro noyau, il reste le quart des noyaux radioactifs initiaux. La décroissance ne s'arrête jamais complètement : au bout de 10 périodes, il reste encore environ 0,1 % des noyaux.
Mimba-Educ ouvre bientôt
Tu as découvert le début de ce cours. La suite s'ouvrira le 22 novembre 2026, jour de l'ouverture officielle du site.
Visiter un autre cours