Physique · 4ème TechThème 2 : Évolution d'un système mécanique · Chapitre 1

Oscillations libres non amorties d'un pendule élastique

Objectifs

À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• reconnaître sur un enregistrement des oscillations libres non amorties ;
• établir l'équation différentielle des oscillations libres d'un pendule élastique sans frottement ;
• mesurer et calculer la période propre T₀ = 2π.(m/k)^1/2 ;
• calculer l'énergie mécanique du pendule et expliquer sa conservation.
Prérequis : énergie cinétique, énergie potentielle élastique, loi de Hooke, mouvement rectiligne sinusoïdal, relation fondamentale de la dynamique.

Situation de départ

La fourche d'un VTT tout suspendu, les amortisseurs d'une voiture, la caisse d'une machine à laver posée sur ses ressorts... et même l'accéléromètre de votre smartphone, qui contient une minuscule masse de silicium tenue par des ressorts microscopiques : tous ces systèmes sont des oscillateurs masse-ressort.
Écartés de leur position d'équilibre puis lâchés, ils oscillent. Mais pourquoi certains oscillent-ils longtemps alors que d'autres s'arrêtent presque aussitôt ? De quoi dépend la durée d'une oscillation ?

I. Oscillations libres non amorties

1. Mise en évidence

Un pendule élastique est formé d'un solide (S) de masse m fixé à un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur k.
Expérience : sur un banc à coussin d'air horizontal (frottements très faibles), m = 0,1 kg et k = 20 N.m^-1. On écarte (S) de d = 2 cm de sa position d'équilibre O, puis on le lâche sans vitesse initiale. Livré à lui-même, il oscille : ce sont des oscillations libres.

Animation

L'enregistrement x(t)

les maximums valent tous +2 cm et les minimums -2 cm : l'amplitude reste égale à d, les oscillations sont non amorties ;
les maximums successifs sont séparés par la même durée T₀ = 0,44 s : le mouvement est périodique.

Conclusion

Le mouvement de G est rectiligne sinusoïdal :

x(t) = X_m.sin(^2π_T₀t + φ)

L'amplitude X_m et la phase initiale φ dépendent des conditions initiales (écart et vitesse au lâcher).

2. De quoi dépend la période ?

Animation

a) Influence de l'amplitude (m = 0,1 kg ; k = 20 N.m^-1)

X_m (cm)	1	2	3	4	5
Δt = 10 T₀ (s)	4,4	4,5	4,4	4,4	4,5

T₀ = 0,44 s quelle que soit l'amplitude : les oscillations sont isochrones.

b) Influence de la masse (k = 20 N.m^-1)

m (kg)	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30
10 T₀ (s)	3,2	4,4	5,4	6,3	7,0	7,7
T₀² (s²)	0,102	0,194	0,292	0,397	0,490	0,593

Quand m double, T₀ ne double pas : T₀ n'est pas proportionnelle à m. En revanche, la courbe T₀² = f(m) est une droite passant par l'origine : T₀² = 1,97.m (SI), donc T₀ est proportionnelle à m^1/2.

c) Influence de la raideur (m = 100 g)

k (N.m^-1)	10	20	30	40	50
10 T₀ (s)	6,28	4,44	3,62	3,14	2,80
T₀².k (s².N.m^-1)	3,94	3,94	3,93	3,94	3,92

T₀².k est constant : T₀² est proportionnelle à 1/k, donc T₀ est inversement proportionnelle à k^1/2.

Bilan : la période propre

T₀ = C.(m/k)^1/2 ; les mesures donnent C² = 1,97 × 20 = 39,4 environ, soit 4π², d'où :

T₀ = 2π.(m/k)^1/2

T₀ ne dépend que des caractéristiques du pendule (m et k) : c'est sa période propre.

3. Étude théorique

Repère (O, i) lié au laboratoire (galiléen), O position d'équilibre de G. Forces extérieures sur (S) : son poids P, la réaction R du coussin d'air (verticale, frottements négligés), la tension T du ressort.

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