Oscillations forcées d'un pendule élastique en régime sinusoïdal
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• distinguer l'excitateur du résonateur, et les oscillations libres des oscillations forcées ;
• mettre en évidence, qualitativement, la résonance d'élongation et l'influence de l'amortissement ;
• distinguer une résonance aiguë d'une résonance floue ;
• utiliser l'analogie électrique - mécanique pour écrire l'équation différentielle en x ou en v, les expressions de Xm et de Vm en fonction de N, le déphasage entre la force excitatrice et l'élongation ;
• caractériser la résonance d'élongation et la résonance de vitesse, et exprimer la puissance mécanique moyenne.
Prérequis : période propre du pendule élastique ; oscillations forcées du circuit RLC série (équation en q ou en i, expressions de Im et de Qm, puissance moyenne) ; analogie entre oscillateur mécanique amorti et circuit RLC série.
Situation de départ
Le 10 juin 2000, à Londres, la toute nouvelle passerelle Millennium se met à osciller latéralement sous les pas de milliers de piétons : leurs pas, presque synchronisés, forment une excitation périodique proche d'une fréquence propre de l'ouvrage. Elle est fermée deux jours plus tard, puis équipée d'amortisseurs.
Dans une voiture, certaines pièces de la carrosserie vibrent bruyamment à certaines vitesses seulement ; une machine à laver « saute » à un régime d'essorage précis ; la caisse d'un violon renforce le son des cordes.
Pourquoi un oscillateur répond-il très fort à certaines fréquences d'excitation et presque pas à d'autres ?
1. Production d'oscillations forcées
Pour compenser les pertes dues aux frottements, il faut fournir de l'énergie à l'oscillateur. Si cet apport est périodique, grâce à un dispositif appelé excitateur, les oscillations sont dites forcées (comme pour le circuit RLC série alimenté par un GBF).
Dispositif : un palet (S) de masse m = 100 g, sur un banc à coussin d'air, est attaché à un ressort de raideur k = 6,5 N.m-1. L'autre extrémité B du ressort est reliée, par une tige guidée, à un excentrique entraîné par un moteur de fréquence de rotation N réglable : B effectue un mouvement rectiligne sinusoïdal de fréquence N. Un stylet fixé au palet enregistre x(t).
Avec N = 1,5 tr.s-1, en régime permanent
- période mesurée T = 0,67 s, soit une fréquence de 1,5 Hz : c'est la fréquence du moteur ;
- la fréquence propre du pendule vaut N0 = (1/2π).(k/m)1/2 = (1/2π).(6,5/0,1)1/2 = 1,28 Hz : le pendule n'oscille pas à sa fréquence propre ;
- x = Xm.sin(2πNt + φ) : le pendule effectue des oscillations forcées imposées par le moteur (l'excitateur).
Soumis à des excitations périodiques, le pendule élastique effectue des oscillations forcées sinusoïdales de période égale à celle de l'excitateur. Le pendule est appelé résonateur (le nom sera justifié par la suite).
2. Influence de la fréquence de l'excitateur
On observe l'amplitude Xm des oscillations du palet en augmentant progressivement la fréquence N du moteur :
Observations
- à la plus petite fréquence possible, le palet oscille à la fréquence N avec une amplitude très faible ;
- quand N augmente, Xm devient de plus en plus grande ;
- au voisinage d'une valeur légèrement inférieure à la fréquence propre N0, Xm augmente beaucoup plus vite et atteint sa valeur la plus élevée ;
- au-delà, Xm chute, puis continue à décroître plus modérément.
Ces constatations rappellent la résonance de charge du circuit RLC série en régime forcé : la charge maximale Qm passait par un maximum pour une fréquence légèrement inférieure à N0. Le pendule « répond » très fortement quand on lui impose une fréquence proche de sa fréquence propre : il résonne, d'où le nom de résonateur.
En régime sinusoïdal forcé, Xm dépend de N ; elle est maximale pour une fréquence Nr légèrement inférieure à N0 : c'est la résonance d'élongation, Nr est la fréquence de résonance.
3. Influence de l'amortissement
On augmente l'amortissement en fixant sur le palet une voile (plaque perpendiculaire au banc), de plus en plus grande. On peut aussi utiliser un pendule vertical oscillant dans l'air ou dans un liquide.
Trois expériences
- expérience 1 (petite plaque) : mêmes constatations, mais l'amplitude à la résonance est plus faible qu'en l'absence de voile, et la fréquence de résonance Nr est un peu plus petite ;
- expérience 2 (plaque un peu plus grande) : la résonance existe encore, mais elle est beaucoup moins marquée, à une fréquence Nr encore plus petite, toujours inférieure à N0 ;
- expérience 3 (grande plaque) : les oscillations sont à peine visibles ; leur amplitude reste presque la même, ou diminue légèrement, quand N augmente.
Sans voile, le pic est étroit et très haut : résonance aiguë. Avec un amortissement important, Xm devient peu sensible à N : résonance floue. Avec un amortissement très important, il n'y a plus de résonance : le régime forcé est dit linéaire. C'est exactement le rôle de la résistance R pour le circuit RLC série.
Conclusion : à fréquence donnée, Xm est d'autant plus petite que l'amortissement est grand ; Nr < N0, et l'écart augmente avec l'amortissement.
4. Étude théorique par analogie
4.1. Nature et vitesse des oscillations
Repère galiléen (O, i) lié au laboratoire, O position de repos de G. Au lieu d'appliquer la relation fondamentale de la dynamique, on utilise l'analogie établie pour les oscillations libres, complétée par : tension excitatrice u et force excitatrice F.
Analogie électrique - mécanique
| Oscillateur électrique | Oscillateur mécanique |
|---|---|
| charge q | élongation x |
| intensité i = dq/dt | vitesse v = dx/dt |
| inductance L | masse m |
| résistance R | coefficient de frottement h |
| 1/C | raideur k |
| u = Um.sin 2πNt | F = Fm.sin 2πNt |
Pour le RLC série en régime forcé : L.q'' + R.q' + q/C = Um.sin ωt (ω = 2πN). Par analogie :
- solution en régime permanent : x = Xm.sin(ωt + φx) : le palet oscille sinusoïdalement à la fréquence N de l'excitateur ;
- vitesse : v = dxdt = ω.Xm.sin(ωt + φx + π/2) = Vm.sin(ωt + φv), avec Vm = ω.Xm et φv = φx + π/2 ;
- équation en v, analogue de L.di/dt + R.i + (1/C)∫i.dt = u : m.dvdt + h.v + k∫v.dt = Fm.sin ωt.
4.2. Amplitude et vitesse maximale
Par analogie avec Qm = Um/[R2ω2 + (1/C - Lω2)2]1/2 :
Déphasages (par analogie avec ceux de i et de q par rapport à u) :
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