Physique · 4ème MathThème 1 : Évolution de systèmes électriques · Chapitre 7

Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal

Objectifs

À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• distinguer l'excitateur (le générateur) du résonateur (le circuit RLC série) ;
• visualiser simultanément à l'oscilloscope la tension excitatrice u(t) et l'intensité i(t) ou la charge q(t) ;
• mesurer l'amplitude, la fréquence et le déphasage d'une grandeur oscillante ;
• mettre en évidence la résonance d'intensité et la résonance de charge ;
• établir l'équation différentielle en i(t) ou en q(t) et l'expression de Im et de Qm en fonction de la fréquence (construction de Fresnel) ;
• définir le facteur de surtension ;
• calculer la puissance moyenne et expliquer l'importance du facteur de puissance.
Prérequis : période, fréquence, amplitude et phase initiale d'une grandeur sinusoïdale ; valeurs maximale et efficace (Im = I.21/2, Um = U.21/2) ; période propre et équation différentielle d'un circuit RLC série libre ; énergies EC et EL.

Situation de départ

Quand vous posez votre smartphone sur un chargeur à induction, ou quand vous passez votre carte sans contact devant un lecteur (NFC, 13,56 MHz), deux circuits bobine-condensateur sont accordés sur la même fréquence pour que l'énergie ou l'information passe efficacement. De même, chercher une station de radio, c'est régler un circuit pour qu'il réponde fortement à une seule fréquence.
Que se passe-t-il quand on impose une tension sinusoïdale à un circuit RLC série ? Qu'appelle-t-on résonance électrique ?

1. Production d'oscillations forcées

1.1. Excitateur et résonateur

Montage : un GBF délivre u(t) = Um.sin ωt (Um constante, fréquence N réglable) aux bornes d'un circuit RLC série : R0 réglable, C = 0,47 µF, bobine L = 0,2 H, r = 12,5 Ω. Le point M est relié à la masse ; la voie Y1 reçoit u = uAM, la voie Y2 reçoit uR0 = R0.i, image de l'intensité (le résistor est placé du côté de la masse).

© Mohamed — mimba-educ.com | MB-9A0035F3GBF(L, r)CR0ABMY1 : uY2 : uR0masse© Mohamed — mimba-educ.com
Fig. 1 — R0 du côté de la masse : la voie Y2 visualise uR0, image de i.

Pour visualiser la charge, on permute les dipôles pour placer le condensateur du côté de la masse : Y2 donne alors uC = q/C, image de q(t).

© Mohamed — mimba-educ.com | MB-9A0035F3GBF(L, r)R0CADMY1 : uY2 : uCmasse© Mohamed — mimba-educ.com
Fig. 2 — Condensateur du côté de la masse : la voie Y2 visualise uC, image de q.

Animation

Réglages : N = 400 Hz, Um = 2 V, R0 = 50 Ω. K ouvert : on ne voit que u(t). K fermé :

Observations

  • i(t) et q(t) sont sinusoïdales, avec un décalage horaire constant par rapport à u(t) : elles oscillent à la fréquence N du GBF, et non à la fréquence propre N0 = 519 Hz du circuit ;
  • les oscillations sont forcées : le GBF est l'excitateur, le circuit RLC est le résonateur ;
  • à 400 Hz, la courbe de UR0m en fonction de Um est une droite passant par l'origine, Um = 7.UR0m environ. Comme UR0m = R0.Im : Um = Z.Im avec Z = 7 × 50 = 350 Ω environ.
L'impédance

Z = UmIm
Z est l'impédance du circuit ; elle s'exprime en ohms et ne dépend que du circuit (et de la fréquence). On lit Im = UR0m/R0 = 5,7 mA et UCm = 4,8 V, soit Qm = C.UCm = 2,3 µC.

1.2. Équation différentielle du régime forcé

Loi des mailles : uAM = uBM + uDB + uAD, soit u = R0.i + r.i + L.didt + q/C. Avec R = R0 + r et q = ∫i.dt :

L.didt + R.i + 1C∫i.dt = Um.sin ωt (équation en i)
L.d2qdt2 + R.dqdt + qC = Um.sin ωt (équation en q)
C'est l'équation du régime libre, avec un second membre non nul : la tension imposée par l'excitateur.

Solution du régime permanent

La solution particulière du régime permanent est sinusoïdale, de même pulsation ω = 2πN que u :

i(t) = Im.sin(ωt + φi) avec Im = UmZ
q(t) = Qm.sin(ωt + φq)
Comme i = dqdt = 2πN.Qm.cos(2πNt + φq), on a Im = 2πN.Qm, soit Qm = Im2πN = Um2πN.Z.
Vérification : 5,7.10-3/(2π × 400) = 2,3.10-6 C, comme mesuré.

1.3. Déphasage

Animation

Le déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales isochrones (même période T) de phases initiales φ1 et φ2 est Δφ = φ2 - φ1. À un décalage horaire Δt entre leurs courbes correspond :

|Δφ| = 2πT.Δt

Cas particuliers

Décalage ΔtDéphasage ΔφNom
00 (ou 2kπ)concordance de phase (en phase)
T/2π (ou π + 2kπ)opposition de phase
T/4π/2quadrature de phase

Si φ2 - φ1 > 0, y2 est en avance de phase sur y1 : ses maximums arrivent plus tôt. Sinon, elle est en retard.
Exemple (oscillogramme du 1.1) : les maximums de i précèdent ceux de u de Δt = 0,55 ms avec T = 2,5 ms : |Δφ| = 2π × 0,22 = 1,4 rad environ, i est en avance sur u.

Déphasage entre i et q

q = Qm.sin(2πNt + φq) donne i = 2πN.Qm.cos(2πNt + φq) = 2πN.Qm.sin(2πNt + φq + π/2), donc φi = φq + π/2 : en régime forcé, i est toujours en quadrature avance sur q (ses maximums arrivent T/4 plus tôt).

2. Influence de la fréquence d'excitation

2.1. Mise en évidence expérimentale

Animation

On garde Um = 2 V et R0 = 50 Ω et on fait varier N. uR0(t) et uC(t) restent sinusoïdales, mais leurs amplitudes et leurs décalages par rapport à u(t) changent :

Observations

  • selon N, uR0 (donc i) peut être en avance ou en retard sur u ; quand le décalage s'annule, UR0m est maximale ;
  • uC (donc q) est toujours en retard sur u (décalage inférieur à T/2) ;
  • un ampèremètre (I) et un voltmètre aux bornes du condensateur (UC) permettent de tracer Im = I.21/2 et Qm = C.UC.21/2 en fonction de N ;
  • pour R0 = 50 Ω, Im passe par un maximum (32 mA environ) pour N = N0 = 519 Hz : à cette fréquence, Z = Um/Im = 62,5 Ω = R0 + r. Le circuit se comporte comme un simple résistor, et i est en phase avec u : c'est la résonance d'intensité ;
  • Qm passe aussi par un maximum, à une fréquence Nr légèrement inférieure à N0 : c'est la résonance de charge.

2.2. Construction de Fresnel

Principe (fiche technique)

À y = a.sin(ωt + φ), on associe un vecteur de Fresnel de longueur a, tournant à la vitesse angulaire ω, qui fait à t = 0 l'angle φ avec l'axe des phases ; sa projection sur l'axe vertical redonne y(t). Des fonctions isochrones gardent les mêmes positions relatives : on les dessine à t = 0, et la somme des fonctions correspond à la somme des vecteurs.

Animation

Application : on reporte i = Im.sin(ωt + φi) dans l'équation (la constante d'intégration est nulle car le second membre est sinusoïdal) :

Les vecteurs de Fresnel

  • R.i : vecteur [R.Im ; φi] ;
  • L.didt = Lω.Im.sin(ωt + φi + π/2) : vecteur [Lω.Im ; φi + π/2] ;
  • 1C∫i.dt = ImCω.sin(ωt + φi - π/2) : vecteur [Im/(Cω) ; φi - π/2] ;
  • leur somme est u : vecteur [Um ; 0].

Le triangle rectangle donne Um2 = (R.Im)2 + (Lω - 1/(Cω))2.Im2, d'où :

Im = UmZ avec Z = [R2 + (Lω - 1/(Cω))2]1/2
tan φi = 1/(Cω) - LωR (-π/2 < φi < π/2) cos φi = RZ

Trois cas

  • Lω > 1/(Cω) (N > N0) : φi < 0, i est en retard sur u : circuit inductif ;
  • Lω < 1/(Cω) (N < N0) : φi > 0, i est en avance sur u : circuit capacitif ;
  • Lω = 1/(Cω) (N = N0) : les vecteurs Lω.Im et Im/(Cω) se compensent, φi = 0.
Charge

Qm = Im/ω = Umω.Z et φq = φi - π/2, donc -π < φq < 0 : q est toujours en retard sur u.

2.3. Résonance d'intensité

Z est grande aux très basses et aux très hautes fréquences : Im = Um/Z tend alors vers 0, le circuit répond très peu. La réponse est bonne quand Lω et 1/(Cω) sont voisins. Pour Lω = 1/(Cω), c'est-à-dire ω = ω0 = 1/(LC)1/2 (N = N0) :

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