Physique · 4ème InfoThème 1 : Évolution de systèmes électriques · Chapitre 6

Oscillations électriques libres non amorties

Objectifs

À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• établir l'équation différentielle d'un circuit LC (résistance nulle) ;
• écrire q(t) = Q_m.sin(ω₀t + φ), définir la pulsation propre ω₀, la période propre T₀ = 2π.(LC)^1/2 et la fréquence propre N₀ ;
• déterminer Q_m et φ à partir des conditions initiales ;
• démontrer la conservation de l'énergie totale d'un oscillateur LC et décrire les échanges entre E_C et E_L.
Prérequis : oscillations libres amorties d'un circuit RLC série ; dérivée d'une fonction sinusoïdale ; énergies E_C = q²/2C et E_L = L.i²/2.

Situation de départ

Dans un poste de radio, un petit circuit formé d'une bobine et d'un condensateur « choisit » une station : il oscille naturellement à une fréquence bien précise, sa fréquence propre. En tournant le bouton, on change la capacité, donc cette fréquence.
Si l'on pouvait supprimer toute résistance, un condensateur chargé et une bobine oscilleraient indéfiniment. Quelle serait alors la loi q(t) ? De quoi dépendrait la période ? Que deviendrait l'énergie ?

I. Oscillations libres non amorties

1. Équation différentielle et solution

Animation

Cas idéal (irréalisable en pratique) : condensateur chargé fermé sur une bobine purement inductive (R = 0). Loi des mailles : q/C + L.^di_dt = 0, soit :

^d²q_dt² + ω₀².q = 0 avec ω₀² = ¹_LC

C'est l'équation du cas amorti sans le terme d'amortissement. Sa solution générale est sinusoïdale :

q(t) = Q_m.sin(ω₀t + φ)

Les grandeurs

Q_m : amplitude (C) ; ω₀ : pulsation (rad.s^-1) ; φ : phase initiale (rad) ; ω₀t + φ : phase à l'instant t ;
vérification : ^d²q_dt² = -ω₀².Q_m.sin(ω₀t + φ) = -ω₀².q ; en reportant, q(1/LC - ω₀²) = 0 pour tout t, donc ω₀ = 1/(LC)^1/2 ;
comme elle ne dépend que de L et C, ω₀ est la pulsation propre de l'oscillateur.

2. Période propre, amplitude et phase initiale

Période et fréquence propres

T₀ = ^2π_ω₀ = 2π.(LC)^1/2 N₀ = ¹_T₀ = ¹_2π.(LC)^1/2

Exemple : L = 10 mH et C = 100 µF donnent T₀ = 2π.(10^-6)^1/2 = 6,28 ms, soit N₀ = 159 Hz. Avec des valeurs courantes de L et C, la période propre est très inférieure à la seconde.

Amplitude et phase initiale : en refaisant la simulation avec une charge initiale 9.10^-4 C au lieu de 6.10^-4 C, on obtient une sinusoïde de même période mais d'amplitude 9.10^-4 C : Q_m est égale à la charge initiale Q₀.
Si l'origine des dates est l'instant de fermeture : q(0) = Q_m.sin φ = Q₀ = Q_m, donc sin φ = 1 et φ = π/2. Une autre origine des dates donnerait une autre phase.
Ainsi, ω₀ ne dépend que de L et C ; Q_m et φ ne dépendent que des conditions initiales.

Intensité

i = ^dq_dt = ω₀.Q_m.cos(ω₀t + π/2) = I_m.sin(ω₀t + π), avec I_m = ω₀.Q_m. L'intensité est aussi une grandeur oscillante, en quadrature avance sur q.

Fig. 1 — Avec q = Q_m.cos ω₀t, l'intensité i = -I_m.sin ω₀t s'annule quand |q| est maximale : i est en quadrature avance sur q.

3. Énergie d'un oscillateur LC

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