Équilibre d'un solide soumis à trois forces
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• établir expérimentalement la relation entre trois forces non parallèles qui maintiennent un solide en équilibre ;
• énoncer les conditions d'équilibre d'un solide soumis à trois forces ;
• résoudre un problème d'équilibre par la méthode graphique (dynamique des forces) ou par projection sur deux axes ;
• décrire la réaction d'un support et déterminer une force de frottement.
Prérequis : bilan des forces extérieures, équilibre d'un solide soumis à deux forces, principe de l'inertie, sinus et cosinus d'un angle.
Situation de départ
Dans une rue étroite de la médina, une lanterne est suspendue au milieu d'un câble tendu entre deux façades. Pour que la lanterne ne gêne pas le passage, on voudrait tendre le câble presque horizontalement.
Mais plus le câble est tendu, plus il risque de casser, alors que la lanterne ne pèse que quelques kilogrammes. Comment l'expliquer ?
I. Conditions d'équilibre
1. Rappel : solide soumis à deux forces
Un solide soumis à deux forces F1 et F2 reste en équilibre si ces forces sont directement opposées : même droite d'action, sens contraires, même valeur : F1 + F2 = 0.
2. Étude expérimentale : trois dynamomètres
Sur une table, un anneau très léger (son poids est négligeable) est relié par des fils à trois dynamomètres que l'on tire dans trois directions différentes. Une fois l'anneau immobile, on glisse une feuille sous le montage, on reporte les directions des fils et on note les valeurs lues.
On constate que les trois fils sont dans un même plan et que leurs droites d'action, prolongées, se coupent en un même point O.
Plaçons maintenant les trois vecteurs bout à bout : on trace F1, puis F2 à partir de l'extrémité de F1, puis F3 à partir de l'extrémité de F2. L'extrémité de F3 revient sur l'origine de F1 : la ligne polygonale est fermée. Cette construction s'appelle la dynamique des forces (ou triangle des forces).
Si un solide soumis à trois forces non parallèles F1, F2 et F3 est en équilibre dans un repère terrestre :
• les trois forces sont coplanaires ;
• leurs droites d'action sont concourantes ;
• leur somme vectorielle est nulle : F1 + F2 + F3 = 0 (la dynamique des forces est fermée).
La somme des vecteurs est nulle, mais pas la somme des valeurs : ici 5,0 N + 3,5 N ne donne pas 4,1 N. On ne peut additionner les valeurs que si les forces ont la même direction.
Un solide qui vérifie ces conditions peut aussi être en mouvement rectiligne uniforme (principe de l'inertie) : il n'est en équilibre que s'il était immobile au départ. Si les droites d'action ne sont pas concourantes, G peut rester immobile mais le solide se met à tourner (chapitre suivant).
II. Résoudre un problème d'équilibre
1. Méthode
Les étapes
- Choisir le système étudié (le solide).
- Faire le bilan des forces extérieures (diagramme des interactions) : poids, tensions des fils, réactions des supports...
- Représenter le solide seul et les forces, avec leurs droites d'action (concourantes).
- Écrire la condition d'équilibre F1 + F2 + F3 = 0.
- Méthode graphique : construire à l'échelle la dynamique des forces et mesurer les longueurs inconnues ; ou méthode analytique : choisir un repère (O, x, y) dans le plan des forces et projeter la relation sur les deux axes.
- Résoudre le système de deux équations obtenu.
2. Exemple : la lanterne
Système : la lanterne et le point O du câble. Forces extérieures : le poids P (vertical, vers le bas, P = m.g = 40 N pour m = 4,0 kg), les tensions T1 et T2 des deux brins, qui font chacun l'angle α avec la verticale. Par symétrie, T1 = T2 = T.
On projette P + T1 + T2 = 0 sur un axe horizontal et sur un axe vertical orienté vers le haut :
• sur l'axe horizontal : - T1.sin α + T2.sin α = 0, donc T1 = T2 = T ;
• sur l'axe vertical : T.cos α + T.cos α - P = 0, d'où :
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