Équilibre d'un solide soumis à trois forces
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• définir un point matériel et un système matériel, déformable ou indéformable ;
• distinguer les forces intérieures et les forces extérieures à un système ;
• établir expérimentalement et appliquer les conditions d'équilibre d'un solide soumis à trois forces coplanaires non parallèles ;
• relier la force qui retient un chariot sur un plan incliné à l'inclinaison : F = P.sin α ;
• décrire les forces de frottement et les facteurs dont elles dépendent.
Prérequis : représentation d'une force, principe des interactions, équilibre d'un solide soumis à deux forces, sinus d'un angle.
Situation de départ
Pourquoi serre-t-on le frein à main pour démarrer une voiture en côte ? Pourquoi les câbles électriques tendus entre deux pylônes ne sont-ils jamais parfaitement horizontaux ? Et pourquoi une gomme posée sur un classeur légèrement incliné ne glisse-t-elle pas ?
I. Système matériel et forces
1. Point matériel et système matériel
Vu depuis le sol, un avion qui vole à 10 km d'altitude paraît minuscule : on peut le représenter par un point doté de sa masse. Dans son hangar, au contraire, ses dimensions ne sont pas négligeables.
• Un point matériel est un corps dont les dimensions sont négligeables devant celles de l'espace où il se déplace ; la notion est relative.
• Un système matériel est un ensemble de points matériels ; on le choisit librement (un ou plusieurs corps). Tout le reste de l'Univers est l'extérieur.
• Un système est indéformable (un solide) si les distances entre ses points ne changent pas, déformable sinon (un ressort, deux patineurs, une bicyclette).
La masse d'un système est la somme des masses de ses parties ; son poids s'applique en son centre d'inertie G.
2. Forces intérieures et forces extérieures
Une force exercée par un corps extérieur sur le système est une force extérieure ; une force exercée par une partie du système sur une autre partie du système est une force intérieure. La même force peut être intérieure ou extérieure selon le système choisi.
D'après le principe d'interaction, les forces intérieures vont par paires opposées : leur somme est nulle, Σ Fint = 0. Pour étudier l'équilibre ou le mouvement d'un système, seules comptent les forces extérieures.
II. Équilibre d'un solide soumis à trois forces
Sur un tableau magnétique, une plaque très légère est tirée par trois dynamomètres. À l'équilibre :
• les trois fils sont dans un même plan : les forces sont coplanaires ;
• leurs droites d'action passent par un même point : elles sont concourantes ;
• en traçant les vecteurs bout à bout, à l'échelle, on obtient un triangle fermé, le triangle des forces : leur somme est nulle.
Dans un repère terrestre, si un solide est en équilibre sous l'action de trois forces non parallèles F1, F2, F3, alors :
• les trois forces sont coplanaires ;
• leurs droites d'action sont concourantes ;
• F1 + F2 + F3 = 0.
Ces conditions sont nécessaires mais pas suffisantes : un solide qui les vérifie peut aussi être en mouvement rectiligne uniforme.
La somme des valeurs de deux forces n'est pas égale à la valeur de la troisième : seule la somme des vecteurs est nulle.
Méthode de résolution
Les étapes
- Choisir le système et faire le bilan des forces extérieures.
- Faire un schéma clair : directions et sens des forces, droites d'action concourantes.
- Écrire la condition d'équilibre F1 + F2 + F3 = 0.
- Méthode graphique (triangle des forces à l'échelle) ou méthode analytique : projeter sur deux axes bien choisis.
- Résoudre et conclure.
Exemple : la lanterne suspendue. Une lanterne de 4,0 kg (P = 40 N) est suspendue au milieu d'un câble dont chaque brin fait l'angle α avec la verticale. En projetant sur la verticale : 2.T.cos α = P, soit T = P2.cos α.
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