Équilibre d'un solide mobile autour d'un axe fixe
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• reconnaître un solide mobile autour d'un axe fixe ;
• calculer le moment d'une force orthogonale à un axe, à l'aide du bras de levier ;
• calculer le moment d'un couple de forces ;
• appliquer le théorème des moments ;
• expliquer le fonctionnement de quelques machines simples : levier, poulie, treuil, balance.
Prérequis : représentation d'une force, bilan des forces, équilibre d'un solide soumis à trois forces.
Situation de départ
Pour changer une roue, un automobiliste n'arrive pas à desserrer un écrou avec la petite clé du coffre. Il glisse un tube métallique sur le manche pour le rallonger, appuie avec la même force... et l'écrou cède.
Pourquoi une clé plus longue est-elle plus efficace ? Et pourquoi les poignées de porte sont-elles toujours placées loin des gonds ?
I. Solide mobile autour d'un axe fixe
Quand une porte s'ouvre, chacun de ses points décrit un arc de cercle ; seuls les points situés sur la droite qui passe par les gonds restent immobiles. Cette droite (Δ) est l'axe de rotation : tous les points de la porte décrivent des cercles centrés sur l'axe, dans des plans perpendiculaires à l'axe.
De même, une roue de vélo (par rapport au cadre), une poulie, une aiguille de montre, une balançoire sont des solides mobiles autour d'un axe fixe.
II. Effet de rotation d'une force
On essaie d'ouvrir une porte en tirant sur une ficelle accrochée à la poignée, dans différentes directions :
Ce que l'on observe
| Force exercée sur la porte | La porte tourne-t-elle ? |
|---|---|
| parallèle à l'axe (vers le haut ou vers le bas) | non : effet de rotation nul |
| dont la droite d'action rencontre l'axe | non : on risque seulement d'arracher les gonds |
| orthogonale à l'axe, sans le rencontrer | oui |
Dans la suite, on ne considère que des forces orthogonales à l'axe (contenues dans un plan perpendiculaire à l'axe). Pour une même force, l'effet de rotation est d'autant plus grand que sa droite d'action est loin de l'axe : c'est pourquoi la poignée est loin des gonds.
III. Moment d'une force par rapport à un axe
1. Définition
On ramène toujours un solide mobile autour d'un axe dans la même position d'équilibre, avec des forces appliquées à différentes distances : la valeur F nécessaire diminue quand la distance d augmente, et le produit F.d reste constant. Ce produit mesure l'effet de rotation de la force.
Le moment d'une force F orthogonale à un axe (Δ), par rapport à cet axe, est :
2. Un moment est algébrique
Une force peut faire tourner le solide dans un sens ou dans l'autre. On choisit un sens positif de rotation : le moment est positif si la force tend à faire tourner le solide dans ce sens, négatif sinon. Une force dont la droite d'action rencontre l'axe (réaction de l'axe, poids d'un solide dont le centre d'inertie est sur l'axe) a un moment nul.
On pousse perpendiculairement à 25 cm de l'écrou avec F = 40 N : M = 40 × 0,25 = 10 N.m. Avec la clé rallongée à 50 cm, la même force donne 20 N.m : c'est la réponse à la situation de départ. Si l'on pousse à 50 cm mais en faisant un angle de 30° avec le manche, d = 0,50 × sin 30° = 0,25 m et M = 10 N.m seulement.
Le bras de levier n'est la distance OA entre l'axe et le point d'application que si la force est perpendiculaire à OA. Dans les autres cas, d = OA.sin θ, où θ est l'angle entre la force et OA.
IV. Couple de forces
Pour tourner un volant, un tournevis ou un robinet, on exerce deux forces avec les deux mains ou deux doigts. Un couple de forces est un ensemble de deux forces :
• de droites d'action parallèles et distinctes ;
• de sens contraires ;
• de même valeur F.
Leur somme vectorielle est nulle : le couple ne déplace pas le solide, il le fait tourner.
Le moment d'un couple de forces par rapport à un axe perpendiculaire à son plan est :
Un conducteur tient un volant de 36 cm de diamètre et exerce de chaque côté une force de 20 N tangente au volant : M = 20 × 0,36 = 7,2 N.m.
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