Le principe fondamental de l'hydrostatique
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• mettre en évidence les forces pressantes exercées par un liquide au repos ;
• définir la pression en un point d'un liquide et la relier à la force pressante : F = p.s ;
• reconnaître les facteurs dont dépend la différence de pression entre deux points et appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique ;
• expliquer pourquoi la surface libre est horizontale et utiliser les vases communicants (niveau, siphon, château d'eau, perfusion, écluse).
Prérequis : force, poids, masse volumique ρ = m/V, relation P = m.g.
Situation de départ
Au fond d'une piscine de 4 m, on ressent une gêne dans les oreilles, qui disparaît en remontant. Les murs d'un barrage sont beaucoup plus épais en bas qu'en haut, et les sous-marins d'exploration des grands fonds ont une coque et des hublots de plusieurs centimètres d'épaisseur.
Que fait l'eau sur notre tympan, sur le mur ou sur le hublot ? Et pourquoi cet effet augmente-t-il avec la profondeur ?
I. Les forces pressantes exercées par un liquide
1. Sur les parois du récipient
Un ballon de baudruche rempli d'eau se déforme dans toutes les directions. Si l'on perce sa paroi de petits trous, l'eau jaillit de chaque trou perpendiculairement à la paroi, quelle que soit l'orientation de celle-ci.
Avant le perçage, l'eau poussait donc chaque portion de paroi par une force perpendiculaire à cette paroi, dirigée vers l'extérieur. Même un récipient rigide, qui ne se déforme pas, subit de telles forces.
2. Sur un corps immergé
Un disque rigide est appliqué sous un tube de verre vide grâce à une ficelle. On enfonce l'ensemble dans l'eau, verticalement puis en l'inclinant, et l'on lâche la ficelle : le disque reste collé au tube, même si l'on pose une petite masse dessus. L'eau pousse le disque par une force perpendiculaire à sa surface, répartie sur toute cette surface : c'est une force pressante.
Un liquide au repos exerce sur toute surface en contact avec lui (paroi ou corps immergé) des forces pressantes : en chaque point, elles sont perpendiculaires à la surface pressée et dirigées du liquide vers la surface.
II. La pression en un point d'un liquide
1. Rappel : la pression
Une force pressante de valeur F, répartie uniformément sur une surface d'aire S, exerce une pression :
Une bouteille d'eau de 1,5 kg (poids 15 N) posée sur un fond de 60 cm2 = 6,0.10-3 m2 exerce sur la table la pression p = 156,0.10-3 = 2,5.103 Pa. Posée sur son bouchon (5 cm2), elle exerce une pression douze fois plus grande : la même force sur une surface plus petite.
2. La capsule manométrique
La capsule manométrique est une petite boîte fermée par une membrane de caoutchouc très mince, reliée par un tube souple à un manomètre : un tube en U contenant un liquide coloré. Quand on appuie sur la membrane, il apparaît une dénivellation d entre les deux niveaux du tube en U. Pour une même force, elle est plus grande si la surface pressée est plus petite : la dénivellation mesure la pression subie par la membrane.
Plongée dans un liquide au repos, la capsule donne une dénivellation qui reste la même quand on la tourne autour d'un point M, et quand on la déplace dans le plan horizontal de M.
En chaque point M d'un liquide au repos règne une pression p, la même dans toutes les directions. Un petit élément de surface d'aire s, placé en M (ou dans le plan horizontal de M), subit une force pressante perpendiculaire à la surface, de valeur :
Un hublot circulaire de 20 cm de diamètre (s = π.0,102 ≈ 3,1.10-2 m2) est placé là où la pression de l'eau vaut 2,0.105 Pa. L'eau le pousse avec F = p.s ≈ 6,3.103 N, le poids d'une masse de plus de 600 kg !
III. Le principe fondamental de l'hydrostatique
1. Étude expérimentale
On déplace la capsule dans une cuve d'eau au repos et l'on observe la dénivellation :
• quand la capsule descend, la dénivellation augmente : la pression augmente avec la profondeur ;
• quand elle se déplace dans un même plan horizontal, la dénivellation ne change pas : la pression est la même en tous les points de ce plan ;
• à la même profondeur, la dénivellation est plus grande dans l'eau salée que dans l'eau douce : la pression augmente avec la masse volumique du liquide.
2. Énoncé du principe
La différence de pression entre deux points A et B d'un liquide homogène au repos (B plus profond que A) est égale au produit du poids volumique ρ.g du liquide par la distance H qui sépare les plans horizontaux passant par A et B :
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