Solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• repérer un point en mouvement circulaire par son abscisse angulaire ;
• définir la vitesse angulaire et l'accélération angulaire ;
• distinguer un mouvement circulaire uniforme d'un mouvement circulaire uniformément varié ;
• établir la relation θ'22 - θ'12 = 2 θ'' (θ2 - θ1) ;
• relier la force et l'accélération angulaire d'un point en rotation.
• décrire le mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe ;
• définir le moment d'inertie d'un solide ;
• appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation MΔ = JΔ.θ'' ;
• reconnaître expérimentalement la nature du mouvement de rotation d'un solide.
Situation
Plateau d'un manège, roues, pales d'un ventilateur ou d'une éolienne, tourbillon d'une baignoire qui se vide : la rotation est partout. Comment décrire le mouvement d'un point qui tourne ?
I. Mouvement circulaire d'un point matériel
1. Cinématique du mouvement circulaire
1. Repérer un point sur un cercle
Un point M décrit un cercle de centre O et de rayon R. On choisit une origine A sur le cercle, un axe (Ox) passant par A et un sens positif. On repère M :
- par son abscisse curviligne s, mesure algébrique de l'arc AM (en m) ;
- par son abscisse angulaire θ = (Ox, OM) (en rad).
2. Vitesse et accélération angulaires
En dérivant s = R.θ :
- vitesse angulaire : θ' = dθdt (rad.s-1), et la vitesse linéaire vaut v = R.θ' ;
- accélération angulaire : θ'' = d2θdt2 (rad.s-2).
Dans la base de Frenet (M, T→, N→) : a→ = at.T→ + an.N→ avec at = R.θ'' et an = v2R = R.θ'2
Mouvement circulaire uniforme : θ' constante, θ'' = 0 ; θ = θ'.t + θ0. L'accélération est normale (centripète), de valeur constante R.θ'2. La période T est la durée d'un tour, la fréquence N = 1/T le nombre de tours par seconde, et θ' = 2πN.
Comparaison
| Mouvement rectiligne uniforme | Mouvement circulaire uniforme |
|---|---|
| a = 0 | θ'' = 0 (accélération centripète R.θ'2) |
| v = constante | θ' = constante |
| x = v.t + x0 | θ = θ'.t + θ0 |
3. Mouvement circulaire uniformément varié
Un point a un mouvement circulaire uniformément varié si sa trajectoire est un cercle et son accélération angulaire θ'' est constante. En intégrant :
- Mouvement accéléré : |θ'| augmente, θ'2 croît, donc θ''.θ' > 0.
- Mouvement retardé : θ''.θ' < 0. Si le mobile rebrousse chemin, θ' s'annule à cet instant.
En éliminant le temps entre les deux lois (comme pour le mouvement rectiligne) :
On retrouve les lois du mouvement rectiligne uniformément varié, en remplaçant x, v, a par θ, θ', θ''.
2. Dynamique
1. Dynamique du point en rotation
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