Oscillations libres amorties d'un pendule élastique
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• reconnaître sur un enregistrement des oscillations libres amorties ;
• distinguer les régimes pseudopériodique, critique et apériodique ;
• établir l'équation différentielle d'un pendule élastique soumis à des frottements visqueux ;
• expliquer la diminution de l'énergie mécanique par le travail des frottements.
Prérequis : oscillations libres non amorties du pendule élastique ; énergie mécanique ; dérivée d'un produit.
Situation de départ
Appuyez sur l'aile d'une voiture puis relâchez : si les amortisseurs sont bons, la caisse revient à sa place presque sans osciller. S'ils sont usés, elle rebondit plusieurs fois avant de s'arrêter, et la tenue de route devient dangereuse. Les contrôles techniques mesurent d'ailleurs cette réponse sur un banc vibrant.
Comment les frottements modifient-ils les oscillations d'un pendule élastique ? Où passe son énergie ?
I. Oscillations libres amorties
1. Expérience
En pratique, les frottements font toujours diminuer l'amplitude : les oscillations sont amorties. On fixe sur le solide une palette perpendiculaire au déplacement, qui se déplace soit dans l'air, soit dans l'eau.
Observations
- l'amplitude décroît plus vite dans l'eau : l'eau amortit davantage que l'air ;
- G repasse par O, dans le même sens, à intervalles de temps égaux : le mouvement est pseudopériodique. La pseudopériode T est la durée entre deux passages successifs par la même position dans le même sens ; elle est légèrement supérieure à T0 (comme pour le circuit RLC série) ;
- avec un amortissement plus fort, le solide revient à l'équilibre sans osciller : régime apériodique ;
- pour un amortissement particulier, il revient à l'équilibre sans osciller le plus rapidement possible : régime critique. C'est le réglage recherché pour les amortisseurs d'une voiture ou l'aiguille d'un appareil de mesure.
Amortissement faible : régime pseudopériodique ; amortissement important : régime apériodique.
2. Équation différentielle avec frottements
On suppose les frottements visqueux : ils équivalent à une force f = -h.v, opposée à la vitesse, où h > 0 est le coefficient de frottement (en kg.s-1 ou N.s.m-1).
Relation fondamentale de la dynamique : P + R + T + f = m.a. Projection sur (O, i) : -k.x - h.dxdt = m.d2xdt2, d'où :
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