Analogie électro-mécanique
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• associer à chaque grandeur du pendule élastique la grandeur analogue du circuit RLC série ;
• écrire les équations différentielles analogues, en régime libre (amorti ou non) et en régime forcé ;
• faire correspondre les énergies des deux oscillateurs et leurs échanges ;
• utiliser l'analogie pour transposer un résultat d'un domaine à l'autre (période propre, amplitude, résonance, puissance).
Prérequis : oscillations électriques libres et forcées ; oscillations libres du pendule élastique.
Situation de départ
Dans les années 1950, avant les ordinateurs numériques, les ingénieurs étudiaient la suspension d'une voiture ou les vibrations d'une aile d'avion... avec des circuits électriques ! Une bobine jouait le rôle de la masse, un condensateur celui du ressort, une résistance celui de l'amortisseur. En mesurant des tensions à l'oscilloscope, ils prévoyaient les mouvements du véhicule.
Pourquoi un circuit électrique peut-il « imiter » un système mécanique ?
I. Deux oscillateurs, une même équation
Écartez un pendule élastique de son équilibre, ou chargez le condensateur d'un circuit RLC série, puis laissez faire : dans les deux cas, on observe des oscillations libres amorties. Les enregistrements x(t) et q(t) ont exactement la même allure.
La raison est mathématique : les deux systèmes obéissent à des équations différentielles de même forme.
Deux systèmes physiques sont analogues lorsque leurs grandeurs sont reliées par des équations de même forme. Tout résultat établi pour l'un se transpose à l'autre en remplaçant chaque grandeur par son analogue.
II. Tableau des correspondances
1. Les grandeurs analogues
Correspondances
| Pendule élastique | Circuit RLC série | |
|---|---|---|
| Grandeur oscillante | élongation x (m) | charge q (C) |
| Sa dérivée | vitesse v = dx/dt (m/s) | intensité i = dq/dt (A) |
| Inertie | masse m (kg) | inductance L (H) |
| Rappel | raideur k (N/m) | inverse de la capacité 1/C (1/F) |
| Dissipation | coefficient de frottement h (kg/s) | résistance totale R (Ω) |
| Excitation | force F = Fm.sin ωt (N) | tension u = Um.sin ωt (V) |
Pourquoi ces associations ?
• La masse s'oppose aux variations de la vitesse, comme l'inductance s'oppose aux variations de l'intensité (auto-induction).
• Le ressort exerce une force de rappel proportionnelle à x, comme le condensateur impose une tension q/C proportionnelle à q : k joue le rôle de 1/C, et non de C.
• Le frottement visqueux -h.v est proportionnel à la vitesse, comme la tension R.i est proportionnelle à l'intensité.
La raideur k correspond à 1/C et non à C : un ressort plus raide (k grand) correspond à un condensateur de plus petite capacité.
2. Les équations et les solutions
Régime libre
| Pendule élastique | Circuit RLC série | |
|---|---|---|
| Avec amortissement | m.x'' + h.x' + k.x = 0 | L.q'' + R.q' + q/C = 0 |
| Sans amortissement | x'' + ω02.x = 0 | q'' + ω02.q = 0 |
| Pulsation propre | ω0 = (k/m)1/2 | ω0 = 1/(LC)1/2 |
| Période propre | T0 = 2π.(m/k)1/2 | T0 = 2π.(LC)1/2 |
| Solution | x = Xm.sin(ω0t + φ) | q = Qm.sin(ω0t + φ) |
| Amplitude de la dérivée | Vm = ω0.Xm | Im = ω0.Qm |
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