Le dipôle RC
Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• visualiser à l'oscilloscope la charge et la décharge d'un condensateur à travers un résistor ;
• établir l'équation différentielle vérifiée par uC, q ou i, et la résoudre ;
• connaître l'influence de R et de C et définir la constante de temps τ = RC ;
• déterminer τ graphiquement et estimer la durée d'une charge ou d'une décharge.
Prérequis : le condensateur (q = C.uC, i = dq/dt), loi des mailles, utilisation d'un oscilloscope bicourbe, fonction exponentielle.
Situation de départ
Le flash d'un appareil photo met quelques secondes à se recharger après chaque éclair : sa petite pile charge le condensateur à travers une résistance. Les essuie-glaces à cadence réglable, les minuteries d'éclairage ou les clignotants utilisent eux aussi la durée de charge d'un condensateur.
De quoi dépend cette durée, et comment la prévoir ?
I. Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension
1. L'échelon de tension
Le dipôle RC est l'association en série d'un résistor de résistance R et d'un condensateur de capacité C. Faire passer brusquement la tension à ses bornes de 0 à une valeur constante E constitue un échelon de tension.
Expérience : sur un oscilloscope à mémoire, la voie 1 montre la tension du générateur, qui passe instantanément de 0 à E ; la voie 2 montre la tension uC aux bornes du condensateur, qui croît progressivement de 0 à E.
La charge d'un condensateur à travers un résistor n'est pas instantanée. Tant que uC varie, le circuit est en régime transitoire ; quand uC = E, il est en régime permanent.
La voie Y1 affiche uDA = R.i, image de l'intensité ; la voie Y2 affiche uBA = -uC, que l'on inverse avec le bouton INV. Sans oscilloscope à mémoire, on remplace le générateur continu par un GBF en créneaux (partie IV).
2. Étude de la charge
Mise en équation : d'après la loi des mailles, R.i + uC - E = 0, avec i = dqdt = C.duCdt. On obtient l'équation différentielle :
On obtient de même, en q : dqdt + 1τ.q = ER ; et en i : R.i + 1C∫i.dt = E.
Résolution : on cherche une solution de la forme uC = A.e-αt + B. À t = 0, le condensateur est vide : uC = 0, donc B = -A et uC = A(e-αt - 1). En remplaçant dans l'équation : -A + A(1 - ατ)e-αt = E pour tout t ; il faut donc A = -E et α = 1/τ.
L'intensité est positive pendant toute la charge. Elle est maximale (E/R) à la fermeture : le condensateur vide se comporte d'abord comme un fil. Elle tend vers zéro quand le condensateur est chargé : il se comporte alors comme un interrupteur ouvert.
II. Décharge d'un condensateur dans un résistor
Le condensateur, chargé sous la tension E, est brusquement fermé sur le résistor (commutateur en position 2). La tension uC décroît progressivement de E à 0 : l'énergie stockée est peu à peu dissipée par effet Joule dans le résistor.
Mise en équation, avec le même sens positif qu'à la charge : uC + R.i = 0, avec i = C.duCdt :
Le signe moins traduit un courant de décharge qui circule en sens inverse du courant de charge. Sur l'oscilloscope, uDA = R.i devient négative, tandis que uC reste positive et diminue jusqu'à s'annuler.
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