Physique · 3ème MathThème 3 : Mouvements dans les champs · Chapitre 1

Mouvement dans un champ gravitationnel

Objectifs

À la fin de ce chapitre, vous saurez :
• appliquer la deuxième loi de Newton au mouvement d'un projectile ;
• établir les équations horaires et l'équation de la trajectoire ;
• calculer la flèche et la portée d'un tir.

Situation

Un caillou projeté par un pneu, une balle frappée par une raquette, un poids lancé par un athlète, l'eau d'un jet de fontaine : dans l'air, leurs centres d'inertie décrivent des courbes en forme de parabole. Si l'on néglige la résistance de l'air, ils ne sont soumis qu'à leur poids : ils sont en chute libre.

I. Étude du mouvement

1. Les équations horaires

Animation

Un solide est lancé à t = 0 depuis l'origine O avec une vitesse v→₀ faisant un angle α avec l'horizontale, dans le plan vertical (O, i→, k→), k→ vers le haut. Le champ de pesanteur est uniforme ; le référentiel terrestre est galiléen.

Deuxième loi de Newton et conditions initiales

Deuxième loi de Newton : m g→ = m a→, donc a→ = g→ : a_x = 0, a_y = 0, a_z = - g.
Conditions initiales : v_0x = v₀ cos α, v_0y = 0, v_0z = v₀ sin α ; x₀ = y₀ = z₀ = 0.

En intégrant deux fois

	Accélération	Vitesse	Position
selon x	0	v₀ cos α	x = (v₀ cos α) t
selon y	0	0	y = 0
selon z	- g	- g t + v₀ sin α	z = - ¹₂ g t² + (v₀ sin α) t

À retenir

Comme y = 0, le mouvement a lieu dans le plan vertical qui contient v→₀. Horizontalement, il est uniforme ; verticalement, uniformément varié.

2. Trajectoire, flèche et portée

Animation

En éliminant t = x / (v₀ cos α) :

z = - ^g_{2 v₀² cos² α} x² + (tan α) x

La trajectoire est un arc de parabole.

Fig. 1 — Flèche et portée d'un tir.

Flèche (hauteur maximale) : au sommet S, v_z = 0 à t_S = v₀ sin α / g : z_S = ^{v₀² sin² α}_{2 g} (maximale pour un tir vertical).
Portée (abscisse du point d'impact sur le sol horizontal) : en posant z = 0 : x_P = ^{v₀² sin 2α}_g = 2 x_S (symétrie).

Fig. 2 — Même vitesse, angles différents.

À retenir

À vitesse donnée, la portée est maximale pour α = 45°. Deux angles complémentaires (30° et 60°, par exemple) donnent la même portée.

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